提公因式法步骤（数学因式分解的方法与技巧）

因式分解一直是初中数学的一个难点，稍微复杂的题目，就会有同学不知道怎样下手. 在因式分解中，第一步就是考虑提公因式，这一步也常常是一个难点，许多同学找不到公因式或者是找不全公因式. 现在把常见的提公因式的方法列举出来，供大家学习时参考.

一、先排序先观察一个式子的字母顺序是否正常，多项式各项字母应当按26个字母的顺序排列，具体情况是：

1、不同的字母，按它们在字母表中的顺序排列.如：-b+a+c，要重新排成：a-b+c.

2、同一个字母，要按次数的高低排序，从高到低排.如：a-a²+a³，要重新排成：a³-a²+a

.3、综合排序.如果一个式子里既有不同的字母，同一字母又有不同的次数，则先按字母顺序排，再按次数顺序排.如：ab²-a²b+b +a，要重新排成：-a²b+ab²+a+b.这里，先按a的次数从高到低排有a的项，所以-a²b要排在ab²前面，a要排在b前面；排好后，按b的次数高低排有b的项，所以ab²排在a前面

.4、单独的数字排在最后.因为数字里面没有字母，相当于是字母的0次方，所以应当排到最后.如: x²+2x+3.这里的3可以看作是3x0=3×1=3.所以这个式子本质上是：x²+2x1+3 x0.

5、排序异常即题眼.一般的多项式，字母的顺序都是出题人排好的，基本不用重排.如果你发现有哪个地方，字母的顺序颠倒了，这个地方的式子一般就要被提出来.例1 分解因式：(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y).你会发现，第二项有个（b-a），这个式子的顺序异常，被提出来的可能性极大. 现在我们重新排一下字母顺序：解：原式=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y).你会发现，两个式子中都有a-b，这个式子恰好就是要提出来的因式. 继续往下做就是：

解：原式=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)=(a-b)[(x-y)+(x+y)]=2x(a-b).（注意最后结果里书写的顺序，在同一项里，数字、字母、式子按从左到右的顺序写.）

二、排序之后找负号如果提公式时，第一项有负号，就要先把负号提出来.分解因式的特点是，提完公因式以后，如果再继续分解，就要用到乘法公式.而乘法公式的第一项系数都是正的，所以，为了使得后面用到乘法公式时，容易看出来，并且容易分解，我们第一步就是先把第一项的负号给提出来.例2 分解因式﹣y2+6y﹣9 .解：原式=-( y2-6y+9) =-(y-3)².

三、提完负号找公因式找公因式的方法是：先找数字，再找字母，最后找式子.

1、先找数字.各项系数绝对值的最大公因数就是要提出来的数字.例3 分解因式18x²-36xy+12y.这三项的系数分别为：18、-36、12 ,我们找18、36、12三个数的最大公因数，为6.所以有：解：原式=6(3x²-6xy+2y).

2、再找字母.找到各项都有的字母，这些字母中，次数最低的那个就是要提出来的. 提出来后，每一项对应字母的次数都要相应的降低.例4 分解因式a²b²-3ab²c+ab³.这里面，字母a和b都在各项里出现了，所以这两个字母都要提出来.其中跟a有关的是：a²、a、a，所以提出来a；跟b有关的是b²、b²、b³，所以提出来b².所以有：解：原式=ab²(a-3c+b).

3、最后找式子.

（1）找到各项都有的式子，这些式子中，次数最低的那个就是要提出来的. 提出来后，每一项对应式子的次数都要相应的降低.例5 分解因式 (x﹣y)2+5x(x﹣y).这里面都有x-y，而且相应的式子为：(x-y)²、x-y，所以应当提出来x-y.解：原式= (x-y)[ (x-y) -5x]=(x-y)(-4x –y).

（2）只有一个式子，另一个式子在哪儿？1° 式子中有什么字母和数字，就在式子外找对应的字母和数字，然后给它们加上括号.例6 分解因式 2(a-3)²-a+3.这儿就发现一个式子a-3，而且还在平方里面，要想分解因式，需要找到另外一个a-3.观察这个式子，后面有-a+3，给这儿加括号，一种是把a前面的负号放在括号里面，变成(-a+3)，这个不行；另一种是把a前面的负号放在括号外面，变成-(a-3)，我们会发现，此时a-3出现了.解：原式=2(a-3)² -(a-3)=( a-3)[2 (a-3)-1]=( a-3)(2a-6-1)=( a-3)(2a-7).2° 直接找不到，先找到含有对应字母和数字的项，局部提公因式后再观察.例7 分解因式 2(a-3)²-ab+3b.这儿，后面两项可以提公因式 . 先提公因式，再找相应的式子.解：原式=2(a-3)² -b(a-3)=( a-3)[2 (a-3)-b]=( a-3)(2a-b -6).

四、某项提净用1占位

例8 分解因式 a²+ab²+a.这个式子的第三项是a，把a提出来后，我们会发现这一项没有了. 此时我们用1来占位.原因是，a相当于1·a，其实它有个系数1.所以有：解：原式=a(a+b²+1).现在我们来看两个综合点的例题.