提公因式法步骤(数学因式分解的方法与技巧)

投稿 2023年1月15日09:51:22政策资讯评论阅读模式

提公因式法步骤(数学因式分解的方法与技巧)

因式分解一直是初中数学的一个难点,稍微复杂的题目,就会有同学不知道怎样下手. 在因式分解中,第一步就是考虑提公因式,这一步也常常是一个难点,许多同学找不到公因式或者是找不全公因式. 现在把常见的提公因式的方法列举出来,供大家学习时参考.

一、先排序先观察一个式子的字母顺序是否正常,多项式各项字母应当按26个字母的顺序排列,具体情况是:

1、不同的字母,按它们在字母表中的顺序排列.如:-b+a+c,要重新排成:a-b+c.

2、同一个字母,要按次数的高低排序,从高到低排.如:a-a²+a³,要重新排成:a³-a²+a

.3、综合排序.如果一个式子里既有不同的字母,同一字母又有不同的次数,则先按字母顺序排,再按次数顺序排.如:ab²-a²b+b +a,要重新排成:-a²b+ab²+a+b.这里,先按a的次数从高到低排有a的项,所以-a²b要排在ab²前面,a要排在b前面;排好后,按b的次数高低排有b的项,所以ab²排在a前面

.4、单独的数字排在最后.因为数字里面没有字母,相当于是字母的0次方,所以应当排到最后.如: x²+2x+3.这里的3可以看作是3x0=3×1=3.所以这个式子本质上是:x²+2x1+3 x0.

5、排序异常即题眼.一般的多项式,字母的顺序都是出题人排好的,基本不用重排.如果你发现有哪个地方,字母的顺序颠倒了,这个地方的式子一般就要被提出来.例1 分解因式:(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y).你会发现,第二项有个(b-a),这个式子的顺序异常,被提出来的可能性极大. 现在我们重新排一下字母顺序:解:原式=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y).你会发现,两个式子中都有a-b,这个式子恰好就是要提出来的因式. 继续往下做就是:

解:原式=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)=(a-b)[(x-y)+(x+y)]=2x(a-b).(注意最后结果里书写的顺序,在同一项里,数字、字母、式子按从左到右的顺序写.)

提公因式法步骤(数学因式分解的方法与技巧)

二、排序之后找负号如果提公式时,第一项有负号,就要先把负号提出来.分解因式的特点是,提完公因式以后,如果再继续分解,就要用到乘法公式.而乘法公式的第一项系数都是正的,所以,为了使得后面用到乘法公式时,容易看出来,并且容易分解,我们第一步就是先把第一项的负号给提出来.例2 分解因式﹣y2+6y﹣9 .解:原式=-( y2-6y+9) =-(y-3)².

提公因式法步骤(数学因式分解的方法与技巧)

三、提完负号找公因式找公因式的方法是:先找数字,再找字母,最后找式子.

1、先找数字.各项系数绝对值的最大公因数就是要提出来的数字.例3 分解因式18x²-36xy+12y.这三项的系数分别为:18、-36、12 ,我们找18、36、12三个数的最大公因数,为6.所以有:解:原式=6(3x²-6xy+2y).

2、再找字母.找到各项都有的字母,这些字母中,次数最低的那个就是要提出来的. 提出来后,每一项对应字母的次数都要相应的降低.例4 分解因式a²b²-3ab²c+ab³.这里面,字母a和b都在各项里出现了,所以这两个字母都要提出来.其中跟a有关的是:a²、a、a,所以提出来a;跟b有关的是b²、b²、b³,所以提出来b².所以有:解:原式=ab²(a-3c+b).

3、最后找式子.

(1)找到各项都有的式子,这些式子中,次数最低的那个就是要提出来的. 提出来后,每一项对应式子的次数都要相应的降低.例5 分解因式 (x﹣y)2+5x(x﹣y).这里面都有x-y,而且相应的式子为:(x-y)²、x-y,所以应当提出来x-y.解:原式= (x-y)[ (x-y) -5x]=(x-y)(-4x –y).

(2)只有一个式子,另一个式子在哪儿?1° 式子中有什么字母和数字,就在式子外找对应的字母和数字,然后给它们加上括号.例6 分解因式 2(a-3)²-a+3.这儿就发现一个式子a-3,而且还在平方里面,要想分解因式,需要找到另外一个a-3.观察这个式子,后面有-a+3,给这儿加括号,一种是把a前面的负号放在括号里面,变成(-a+3),这个不行;另一种是把a前面的负号放在括号外面,变成-(a-3),我们会发现,此时a-3出现了.解:原式=2(a-3)² -(a-3)=( a-3)[2 (a-3)-1]=( a-3)(2a-6-1)=( a-3)(2a-7).2° 直接找不到,先找到含有对应字母和数字的项,局部提公因式后再观察.例7 分解因式 2(a-3)²-ab+3b.这儿,后面两项可以提公因式 . 先提公因式,再找相应的式子.解:原式=2(a-3)² -b(a-3)=( a-3)[2 (a-3)-b]=( a-3)(2a-b -6).

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四、某项提净用1占位

例8 分解因式 a²+ab²+a.这个式子的第三项是a,把a提出来后,我们会发现这一项没有了. 此时我们用1来占位.原因是,a相当于1·a,其实它有个系数1.所以有:解:原式=a(a+b²+1).现在我们来看两个综合点的例题.

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